6. Докажите, что: а) если $(a-b):c$ и $ab:c$, то $a^3+b^3:c$; б) если $(a+b):c$ и $ab:c$, то $a^3-b^3:c$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Докажите, что: а) если $(a-b):c$ и $ab:c$, то $a^3+b^3:c$; б) если $(a+b):c$ и $ab:c$, то $a^3-b^3:c$.$ Фото задания

6. Докажите, что: а) если $(a-b):c$ и $ab:c$, то $a^3+b^3:c$; б) если $(a+b):c$ и $ab:c$, то $a^3-b^3:c$.

Accepted Answer

Считаем, что запись «$x:c$» означает: $x$ делится на $c$.

а) Из условий $c\mid(a-b)$ и $c\mid ab$ следует, что $c$ делит и их линейную комбинацию:

$a(a-b)+ab=a^2$, значит, $c\mid a^2$.

Кроме того, $a-b$ делится на $c$, поэтому $a\equiv b\pmod c$. Тогда $a^3+b^3\equiv 2a^3\pmod c$. Так как $c\mid a^2$, то $c\mid a^3$, следовательно, $c\mid 2a^3$ и $c\mid(a^3+b^3)$.

б) Из условий $c\mid(a+b)$ и $c\mid ab$ получаем:

$a(a+b)-ab=a^2$, значит, $c\mid a^2$.

Так как $a+b$ делится на $c$, то $b\equiv -a\pmod c$. Поэтому $a^3-b^3\equiv a^3-(-a)^3=2a^3\pmod c$. Из $c\mid a^2$ следует $c\mid a^3$, а значит, $c\mid(a^3-b^3)$.

6. Докажите, что: а) если \((a-b):c\) и \(ab:c\), то \(a^3+b^3:c\); б) если \((a+b):c\) и \(ab:c\), то \(a^3-b^3:c\).

Ответ: