6. Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Пусть в прямоугольном треугольнике \(ACB\) угол \(C\) прямой, а \(CM\) — медиана к гипотенузе \(AB\).

1. Продолжим луч \(CM\) за точку \(M\) и отложим от точки \(M\) отрезок \(MP\), равный \(CM\).
2. Точка \(M\) — середина отрезка \(AB\), так как \(CM\) — медиана. По построению \(CM=MP\), следовательно, \(M\) — середина отрезка \(CP\).
3. В четырёхугольнике \(ACBP\) диагонали \(AB\) и \(CP\) точкой пересечения делятся пополам. Значит, \(ACBP\) — параллелограмм.
4. Параллелограмм \(ACBP\) является прямоугольником, так как \(\angle C=90^\circ\). Поэтому его диагонали равны: \(CP=AB\).
5. Так как \(CM=MP\), то \(CM=\frac12CP\). Следовательно, \(CM=\frac12AB\).

Ответ: \(CM=\frac12AB\).