6. Докажите, что при любом натуральном п: а) значение выражения (п + 13)² – (п – 12)² кратно 25; б) значение выражения (4n+ 1)² - (4п – 3)² кратно 8.

Решение:

а) Докажем, что выражение \( (n + 13)^2 - (n - 12)^2 \) кратно 25.

1. Применим формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).
2. В нашем случае \( a = (n + 13) \) и \( b = (n - 12) \).
3. Тогда: \( (n + 13)^2 - (n - 12)^2 = ((n + 13) - (n - 12))((n + 13) + (n - 12)) \)
4. Упростим выражения в скобках:
• \( (n + 13) - (n - 12) = n + 13 - n + 12 = 25 \)
• \( (n + 13) + (n - 12) = n + 13 + n - 12 = 2n + 1 \)
5. Подставим упрощённые выражения обратно: \( 25 \cdot (2n + 1) \).
6. Так как один из множителей равен 25, всё выражение делится на 25.

б) Докажем, что выражение \( (4n+1)^2 - (4n-3)^2 \) кратно 8.

1. Снова применим формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).
2. Здесь \( a = (4n + 1) \) и \( b = (4n - 3) \).
3. Тогда: \( (4n + 1)^2 - (4n - 3)^2 = ((4n + 1) - (4n - 3))((4n + 1) + (4n - 3)) \)
4. Упростим выражения в скобках:
• \( (4n + 1) - (4n - 3) = 4n + 1 - 4n + 3 = 4 \)
• \( (4n + 1) + (4n - 3) = 4n + 1 + 4n - 3 = 8n - 2 \)
5. Подставим упрощённые выражения обратно: \( 4 \cdot (8n - 2) \).
6. Вынесем 2 из второй скобки: \( 4 \cdot 2(4n - 1) = 8(4n - 1) \).
7. Так как один из множителей равен 8, всё выражение делится на 8.

Ответ: Доказано.