6. Докажите, что при любом положительном значении $m$ значение выражения $\left(\frac{m-2}{m}-\frac{3}{m+2}+1\right):\frac{2m}{m+2}-\frac{2m^2+m+4}{2m^2}$ является отрицательным числом.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Докажите, что при любом положительном значении $m$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Так как $m>0$, знаменатели $m$, $m+2$ и $2m^2$ не равны нулю.

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
$\frac{m-2}{m}-\frac{3}{m+2}+1=\frac{(m-2)(m+2)-3m+m(m+2)}{m(m+2)}=\frac{2m^2-m-4}{m(m+2)}$.
Выполним деление на $\frac{2m}{m+2}$:
$\frac{2m^2-m-4}{m(m+2)}:\frac{2m}{m+2}=\frac{2m^2-m-4}{2m^2}$.
Вычтем вторую дробь:
$\frac{2m^2-m-4}{2m^2}-\frac{2m^2+m+4}{2m^2}=\frac{-2m-8}{2m^2}=-\frac{m+4}{m^2}$.

При $m>0$ числитель $m+4$ и знаменатель $m^2$ положительны, значит $-\frac{m+4}{m^2}<0$.

Следовательно, значение выражения отрицательно при любом $m>0$.

6. Докажите, что при любом положительном значении \(m\) значение выражения \(\left(\frac{m-2}{m}-\frac{3}{m+2}+1\right):\frac{2m}{m+2}-\frac{2m^2+m+4}{2m^2}\) является отрицательным числом.