6*. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения $\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)$ не зависит от $x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6*. Докажите, что при всех значениях $x\ne\pm2$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Учитываем также знаменатели внутри скобок: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, $x^2-4x+4=(x-2)^2$; поэтому выражение определено при $x\ne\pm2$.

Упростим скобки:

$\frac{1}{(x-2)(x+2)}+\frac{1}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)+(x+2)}{(x-2)^2(x+2)}=\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}$.

Умножая на $\frac{(x-2)^2}{2}$, получаем $\frac{x}{x+2}$. Следовательно, всё выражение равно $\frac{x}{x+2}-\frac{x}{x+2}=0$.

Итак, значение выражения постоянно и не зависит от $x$.

6*. Докажите, что при всех значениях \(x\ne\pm2\) значение выражения \(\frac{x}{x+2}-\frac{(x-2)^2}{2}\left(\frac{1}{x^2-4}+\frac{1}{x^2-4x+4}\right)\) не зависит от \(x\).