6 Докажите, что в треугольнике. 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Решение:

1. Доказательство утверждения: против большей стороны лежит больший угол.

1. Пусть в треугольнике ABC сторона AC > AB.
2. Отложим на стороне AC отрезок AD, равный стороне AB.
3. Соединим точку D с вершиной B (проведем отрезок BD).
4. Треугольник ABD равнобедренный (AB = AD), значит, углы при основании равны: \( \angle ABD = \angle ADB \).
5. Угол ADB является внешним углом треугольника BDC. Следовательно, \( \angle ADB > \angle BCD \) (внешний угол больше любого внутреннего, не смежного с ним).
6. Так как \( \angle ADB = \angle ABD \), то \( \angle ABD > \angle BCD \) (угол C).
7. Угол ABC состоит из углов ABD и DBC: \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \).
8. Поскольку \( \angle ABD > \angle BCD \), то и \( \angle ABC > \angle BCD \).
9. Следовательно, против большей стороны AC лежит больший угол \( \angle ABC \).

2. Доказательство утверждения: обратно, против большего угла лежит большая сторона.

1. Пусть в треугольнике ABC угол C > угла B.
2. Предположим противное: сторона AB \( \ge \) стороны AC.
3. Если AB = AC, то треугольник равнобедренный, и углы при основании равны: \( \angle ABC = \angle ACB \). Но по условию \( \angle ABC > \angle ACB \), что противоречит предположению.
4. Если AB > AC, то по доказанному в пункте 1 (наоборот) против большей стороны AB лежит больший угол \( \angle ACB \), то есть \( \angle ACB > \angle ABC \). Но по условию \( \angle ABC > \angle ACB \), что также противоречит предположению.
5. Следовательно, единственное возможное утверждение — это AB < AC.
6. Это означает, что против большего угла (\( \angle ABC \)) лежит большая сторона (AC).

Теорема доказана.