6. Докажите иррациональность числа log₃ 4.

Предположим, что log₃ 4 рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби p/q, где p и q — натуральные числа.

По определению логарифма 3^(p/q) = 4, следовательно, после возведения обеих частей в степень q имеем 3^p = 4^q = 2^(2q).

Левая часть имеет только простой делитель 3, а правая — только простой делитель 2. Равенство невозможно по единственности разложения натурального числа на простые множители.

Получили противоречие с предположением. Следовательно, log₃ 4 иррационально.