6) Докажите один из признаков параллелограмма.

Докажем признак: если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть в четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD противоположны, AB ∥ CD и AB = CD. Проведём диагональ AC.

1. Так как AB ∥ CD, а AC — секущая, то ∠BAC = ∠DCA как накрест лежащие углы.
2. AC — общая сторона треугольников BAC и DCA; кроме того, AB = CD по условию.
3. Треугольники BAC и DCA равны по двум сторонам и углу между ними.
4. Из равенства треугольников следует, что ∠BCA = ∠DAC. Это накрест лежащие углы при прямых BC и AD и секущей AC, поэтому BC ∥ AD.
5. Итак, AB ∥ CD и BC ∥ AD: обе пары противоположных сторон параллельны.

Следовательно, ABCD — параллелограмм.