6) \(\frac{11}{2\sqrt{3}+1}\)

Решение:

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на \( 2\sqrt{3} - 1 \).

\[ \frac{11}{2\sqrt{3}+1} \cdot \frac{2\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}-1} = \frac{11(2\sqrt{3}-1)}{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)} \]

В знаменателе используем формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \), где \( a = 2\sqrt{3} \) и \( b = 1 \).

\[ (2\sqrt{3})^2 - 1^2 = (2^2 \cdot (\sqrt{3})^2) - 1 = (4 \cdot 3) - 1 = 12 - 1 = 11 \]

Теперь подставим полученное значение в дробь:

\[ \frac{11(2\sqrt{3}-1)}{11} \]

Сократим числитель и знаменатель на 11:

\[ 2\sqrt{3}-1 \]

Ответ: \( 2\sqrt{3}-1 \).