6) \(\frac{22}{1+\sqrt{27}-\sqrt{3}}\)

Пошаговое решение:

• Упростим выражение в знаменателе: \( \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3} \).
• Теперь знаменатель выглядит так: \( 1 + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3} \).
• Исходное выражение: \( \frac{22}{1+2\sqrt{3}} \).
• Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю \( 1+2\sqrt{3} \), то есть на \( 1-2\sqrt{3} \).
• Числитель: \( 22 \cdot (1-2\sqrt{3}) = 22 - 44\sqrt{3} \).
• Знаменатель: \( (1+2\sqrt{3})(1-2\sqrt{3}) = 1^2 - (2\sqrt{3})^2 = 1 - (4 \cdot 3) = 1 - 12 = -11 \).
• Получаем: \( \frac{22 - 44\sqrt{3}}{-11} \).
• Разделим числитель на знаменатель: \( \frac{22}{-11} - \frac{44\sqrt{3}}{-11} = -2 - (-4\sqrt{3}) = -2 + 4\sqrt{3} \).

Ответ: \( 4\sqrt{3} - 2 \)