Ответ:

1. КАС РФ применяется, когда спор связан с решениями, действиями или бездействием органов публичной власти и иных субъектов, осуществляющих публичные полномочия. Сам по себе шум от ремонта у соседей — не такой спор: это бытовое нарушение, а ответственность за нарушение тишины устанавливается законодательством соответствующего региона.

2. Поэтому обращение с требованием к соседям по правилам КАС РФ, вероятнее всего, выбрало ненадлежащий порядок защиты. В зависимости от обстоятельств следует обратиться в полицию или к иному уполномоченному региональным законом органу. Если требуется возместить вред или защитить частное право, вопрос может рассматриваться в гражданском судопроизводстве.

3. В условии сказано, что соседи являются должностными лицами, но одного их статуса недостаточно для применения КАС РФ: важно, действовали ли они именно при осуществлении публичных полномочий. Если они ремонтировали собственную квартиру, их служебное положение к спору не относится.

4. Отказ судьи может быть обжалован в предусмотренном процессуальным законом порядке. Жалоба в прокуратуру сама по себе не является способом пересмотра судебного решения; вопрос о законности отказа решается посредством процессуального обжалования.

Ответ: рассмотрение бытового спора с соседями по КАС РФ, как правило, неправомерно; надлежащий способ защиты зависит от характера нарушения. Обжаловать отказ судьи нужно в процессуальном порядке.