6. Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события: а) A «при первом броске выпадет шестёрка» и B «при втором броске выпадет меньше трёх очков»; б) A «при первом броске выпадет больше трёх очков» и B «сумма выпавших очков меньше девяти»?

а) События независимы, поскольку результат второго броска не зависит от результата первого.

Проверка: \(P(A)=\frac16\), \(P(B)=\frac26=\frac13\), а \(P(A\cap B)=\frac{2}{36}=\frac1{18}=\frac16\cdot\frac13\).

б) События зависимы.

Имеем \(A=\{4,5,6\}\), поэтому \(P(A)=\frac36=\frac12\).

Событие \(B\) означает, что сумма меньше 9. Подходящих исходов: \(21\) из \(36\), поэтому \(P(B)=\frac{21}{36}=\frac7{12}\).

Для пересечения событий:

• при первом броске выпало 4: второй результат — 1, 2, 3 или 4 (4 исхода);
• при первом броске выпало 5: второй результат — 1, 2 или 3 (3 исхода);
• при первом броске выпало 6: второй результат — 1 или 2 (2 исхода).

Значит, \(P(A\cap B)=\frac9{36}=\frac14\).

Но \(P(A)\cdot P(B)=\frac12\cdot\frac7{12}=\frac7{24}\ne\frac14\).

Ответ: а) независимы; б) зависимы.