6. Из городов М и К, расстояние между которыми 450 км, одновременно выехали грузовик и мотоциклист. Грузовик едет со скоростью 60 км/ч, мотоциклист 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа? Найдите все возможные варианты. Ответ:

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассчитаем расстояние, которое проедет грузовик за 2 часа.
   Скорость грузовика: 60 км/ч.
   Время: 2 часа.
   Расстояние грузовика = Скорость × Время = \( 60 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 120 \text{ км} \).
2. Шаг 2: Рассчитаем расстояние, которое проедет мотоциклист за 2 часа.
   Скорость мотоциклиста: 90 км/ч.
   Время: 2 часа.
   Расстояние мотоциклиста = Скорость × Время = \( 90 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 180 \text{ км} \).
3. Шаг 3: Определим расстояние между ними, если они едут навстречу друг другу.
   Начальное расстояние между городами: 450 км.
   Общее пройденное расстояние = Расстояние грузовика + Расстояние мотоциклиста = \( 120 \text{ км} + 180 \text{ км} = 300 \text{ км} \).
   Расстояние между ними = Начальное расстояние - Общее пройденное расстояние = \( 450 \text{ км} - 300 \text{ км} = 150 \text{ км} \).
4. Шаг 4: Определим расстояние между ними, если они едут в одном направлении (от М к К, например).
   В этом случае, мотоциклист, как более быстрый, обгонит грузовик. Необходимо найти разницу между пройденными расстояниями. Разница в пройденном расстоянии = Расстояние мотоциклиста - Расстояние грузовика = \( 180 \text{ км} - 120 \text{ км} = 60 \text{ км} \).
   Так как мотоциклист проехал больше, расстояние между ними будет составлять разницу от их начального положения. Если они стартовали из разных городов, то после 2 часов расстояние будет \( 450 \text{ км} + 60 \text{ км} = 510 \text{ км} \) (если мотоциклист уехал дальше от города М, чем грузовик от города К), или \( 450 \text{ км} - 60 \text{ км} = 390 \text{ км} \) (если мотоциклист уехал дальше, но их пути пересеклись).
   Более точный расчет для движения в одном направлении:
   Предположим, оба стартовали из города М.
   Положение грузовика через 2 часа: \( 60 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 120 \text{ км} \) от М.
   Положение мотоциклиста через 2 часа: \( 90 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 180 \text{ км} \) от М.
   Расстояние между ними: \( 180 \text{ км} - 120 \text{ км} = 60 \text{ км} \).
   Если они стартовали из разных городов (М и К) и едут в одном направлении, например, оба к городу N (где К находится между М и N).
   Положение грузовика относительно М: 120 км.
   Положение мотоциклиста относительно К: 180 км. Расстояние между К и М = 450 км.
   В этом случае, мотоциклист будет дальше от М, чем грузовик, и расстояние между ними будет \( 450 \text{ км} + 180 \text{ км} - 120 \text{ км} = 510 \text{ км} \) (если оба едут в одном направлении от М к К и далее).
   Если они едут из разных городов М и К навстречу друг другу, то они встретятся. Их суммарное расстояние = \( 120 + 180 = 300 \text{ км} \). Так как начальное расстояние 450 км, они не встретятся, а останутся на расстоянии \( 450 - 300 = 150 \text{ км} \).
   Если они едут из разных городов М и К в одном направлении (например, из М в сторону К, и из К в ту же сторону).
   Положение грузовика через 2 часа от М = 120 км.
   Положение мотоциклиста через 2 часа от К = 180 км. Изначальное расстояние между М и К = 450 км.
   Тогда расстояние между ними будет \( (450 + 180) - 120 = 510 \text{ км} \) (если они едут в сторону от К) или \( 450 - 180 + 120 = 390 \text{ км} \) (если К находится между М и местом их встречи, что невозможно, т.к. мотоциклист едет из К).
   Возможны два варианта: 1) Движение навстречу. 2) Движение в одном направлении.
   Вариант 1: Движение навстречу.
   Расстояние между ними = \( 450 - (120 + 180) = 450 - 300 = 150 \text{ км} \).
   Вариант 2: Движение в одном направлении.
   Предположим, они оба едут из М в сторону К (и далее).
   Грузовик будет на расстоянии 120 км от М.
   Мотоциклист будет на расстоянии 180 км от М (так как онехал из К, которое находится на 450 км от М, то его положение будет \( 450 + 180 = 630 \text{ км} \) от М, если они движутся в одном направлении от М).
   Это неверный подход. Правильнее считать относительную скорость.
   Случай 1: Движение навстречу.
   Относительная скорость = \( 60 + 90 = 150 \text{ км/ч} \).
   Расстояние, которое они сократили за 2 часа = \( 150 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 300 \text{ км} \).
   Оставшееся расстояние = \( 450 \text{ км} - 300 \text{ км} = 150 \text{ км} \).
   Случай 2: Движение в одном направлении.
   Относительная скорость = \( 90 - 60 = 30 \text{ км/ч} \).
   Расстояние, которое они сократили (или увеличили) за 2 часа = \( 30 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 60 \text{ км} \).
   Если они стартовали из городов М и К и движутся в одном направлении, то мотоциклист, будучи быстрее, увеличит расстояние между ними (если он позади грузовика) или сократит (если он впереди).
   Если они выехали из разных городов и движутся в одном направлении (например, из М в сторону К, и из К в ту же сторону).
   После 2 часов грузовик проехал 120 км от М.
   Мотоциклист проехал 180 км от К.
   Расстояние между ними = \( 450 \text{ км} + 180 \text{ км} - 120 \text{ км} = 510 \text{ км} \) (если М, К, их пункты назначения образуют одну линию в таком порядке).
   Или \( 450 \text{ км} - 120 \text{ км} + 180 \text{ км} = 510 \text{ км} \).
   Если они едут из одного города в одном направлении:
   \( 180 \text{ км} - 120 \text{ км} = 60 \text{ км} \).
   Из условия «Из городов М и К» следует, что они стартовали из разных городов. Следовательно, они могут двигаться навстречу или в одном направлении.
   Вариант 1: Навстречу друг другу.
   Расстояние между ними = \( 450 - (60 imes 2 + 90 imes 2) = 450 - (120 + 180) = 450 - 300 = 150 \text{ км} \).
   Вариант 2: В одном направлении.
   Пусть оба едут из М в сторону К. Грузовик проехал 120 км от М. Мотоциклист проехал 180 км от К. Расстояние между ними = \( 450 \text{ км} + 180 \text{ км} - 120 \text{ км} = 510 \text{ км} \).
   Пусть оба едут из К в сторону М. Мотоциклист проехал 180 км от К. Грузовик проехал 120 км от М. Расстояние между ними = \( 450 \text{ км} + 120 \text{ км} - 180 \text{ км} = 390 \text{ км} \).
   Возможные варианты:
   1. Движение навстречу: \( 150 \text{ км} \).
   2. Движение в одном направлении (мотоциклист стартовал из К, грузовик из М, оба едут в сторону от К): \( 510 \text{ км} \).
   3. Движение в одном направлении (мотоциклист стартовал из К, грузовик из М, оба едут в сторону от М): \( 390 \text{ км} \).

Ответ: 150 км, 390 км, 510 км