Ответ:

Первое предложение: «У юного Петра появилось новое увлечение».

  • У Петра: главное слово — у Петра (существительное в косвенном падеже), зависимое — у здесь является предлогом; это не словосочетание в принятом школьном разборе.
  • Юного Петра: главное слово — Петра, зависимое — юного (Петра какого?).
  • Новое увлечение: главное слово — увлечение, зависимое — новое (увлечение какое?).
  • Увлечение появилось: главное слово — появилось, зависимое — увлечение (появилось что?).

Не выписывают грамматическую основу предложения — увлечение появилось: подлежащее и сказуемое не образуют словосочетание.