№6. Из точки, не принадлежащей данной плоскости, проведены к ней две наклонные, равные 10 см и 18 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16 см. Найти проекцию каждой наклонной.

Обозначим через h расстояние от точки до плоскости, а через x и y — длины проекций наклонных длиной 10 см и 18 см соответственно. По теореме Пифагора:

x² + h² = 10²,   y² + h² = 18²,   x + y = 16.

Вычтем первое равенство из второго: y² − x² = 18² − 10² = 224.

Разложим разность квадратов: (y − x)(y + x) = 224. Так как x + y = 16, получаем y − x = 14.

Решаем систему x + y = 16 и y − x = 14: y = 15, x = 1.

Проверка: для наклонной 10 см высота равна √(10² − 1²) = √99; для наклонной 18 см — √(18² − 15²) = √99.

Ответ: проекция наклонной длиной 10 см равна 1 см, а наклонной длиной 18 см — 15 см.