6. К окружности с центром О проведены касательные ВА и ВС (А и С — точки касания). Найдите ∠BCA, если ∠OAC = 32°.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник OAC. OA и OC — радиусы окружности. Следовательно, треугольник OAC — равнобедренный.
2. Углы при основании равны: <0xE2ˆ>OCA = <0xE2ˆ>ОАС = 32°.
3. Найдем угол AOC: Сумма углов в треугольнике равна 180°. <0xE2ˆ>АОС = 180° - (<0xE2ˆ>ОАС + <0xE2ˆ>ОCA) = 180° - (32° + 32°) = 180° - 64° = 116°.
4. Свойство касательных: Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, <0xE2ˆ>ОАВ = 90° и <0xE2ˆ>ОСВ = 90°.
5. Рассмотрим четырехугольник OBCA. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
6. Найдем угол BOC: <0xE2ˆ>ВОС = 360° - (<0xE2ˆ>ОАС + <0xE2ˆ>ОСВ + <0xE2ˆ>АОС) = 360° - (90° + 90° + 116°) = 360° - 296° = 64°.
7. Рассмотрим треугольник OBC. OB и OC — радиусы окружности. Следовательно, треугольник OBC — равнобедренный.
8. Углы при основании равны: <0xE2ˆ>ОВС = <0xE2ˆ>OCB = (180° - <0xE2ˆ>ВОС) / 2 = (180° - 64°) / 2 = 116° / 2 = 58°.

Ответ: 58°