6. Какое минимальное число красок потребуется для правильной окраски граней правильных многогранников: а) тетраэдра; б) куба; в) октаэдра; г) икосаэдра; д) додекаэдра (рис. 18.7)?

Соседними считаем грани, имеющие общее ребро. Для обоснования используем смежность граней каждого многогранника.

1. а) Тетраэдр. Любые две из четырёх граней имеют общее ребро, поэтому каждой грани нужен отдельный цвет: 4 краски.

2. б) Куб. Грани можно разбить на три пары противоположных граней. В каждой паре грани не соседствуют, а любые грани из разных пар соседствуют. Значит, достаточно трёх цветов, и меньше нельзя: 3 краски.

3. в) Октаэдр. Его восемь треугольных граней можно разделить на две группы так, что соседние грани всегда принадлежат разным группам. Двух цветов достаточно, а одного недостаточно: 2 краски.

4. г) Икосаэдр. Его грани можно раскрасить тремя цветами. Двух недостаточно: в каждой вершине сходятся пять граней, и соседние по кругу грани образуют нечётный цикл, который нельзя раскрасить двумя цветами: 3 краски.

5. д) Додекаэдр. Три цвета недостаточны: у додекаэдра есть пять граней, каждая из которых соседствует со всеми остальными четырьмя; им нужны четыре разных цвета. Четырёх цветов достаточно: 4 краски.

Ответ: а) 4; б) 3; в) 2; г) 3; д) 4 краски.