6. Какой из графов, изображенных на рисунке, можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз? Обосновать ответ и показать на рисунке этот путь.

Решение:

Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз, называется Эйлеровым графом. Чтобы граф был Эйлеровым, он должен быть связным и иметь либо 0, либо 2 вершины с нечетной степенью (вершины, к которым подходит нечетное число ребер).

Анализ графов:

Первый граф (пирамида):

• Вершина наверху: степень 4 (четная).
• Три вершины в основании: каждая имеет степень 3 (нечетная).

В этом графе 3 вершины с нечетной степенью. Следовательно, его нельзя нарисовать, не отрывая карандаша и проводя каждое ребро ровно один раз.

Второй граф (неправильная четырехугольная пирамида, вид сверху):

• Верхняя вершина: степень 4 (четная).
• Четыре нижние вершины: каждая имеет степень 3 (нечетная).

В этом графе 4 вершины с нечетной степенью. Следовательно, его также нельзя нарисовать, не отрывая карандаша и проводя каждое ребро ровно один раз.

Вывод: Ни один из представленных графов не является Эйлеровым, так как оба имеют более двух вершин с нечетной степенью. Следовательно, ни один из них нельзя нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз.

Ответ: Ни один из представленных графов нельзя нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз, так как в обоих графах более двух вершин с нечетной степенью.