6) *log_2^2 x - 3 log_2 x \(\le\) 4.

Решение:

Это логарифмическое неравенство. Для его решения сделаем замену переменной.

1. Пусть \( y = \log_2 x \). Тогда неравенство примет вид: \( y^2 - 3y \le 4 \).
2. Перенесём всё в левую часть: \( y^2 - 3y - 4 \le 0 \).
3. Найдём корни квадратного уравнения \( y^2 - 3y - 4 = 0 \) с помощью дискриминанта:
• \( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \)
• \( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \)
• \( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \)
4. Теперь решим неравенство \( y^2 - 3y - 4 \le 0 \). Парабола \( y^2 - 3y - 4 \) направлена ветвями вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: \( -1 \le y \le 4 \).
5. Сделаем обратную замену: \( -1 \le \log_2 x \le 4 \).
6. Представим числа -1 и 4 в виде логарифмов по основанию 2: \( \log_2 (2^{-1}) \le \log_2 x \le \log_2 (2^4) \), то есть \( \log_2 \frac{1}{2} \le \log_2 x \le \log_2 16 \).
7. Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), функция \( \log_2 x \) возрастающая. Поэтому мы можем опустить логарифмы: \( \frac{1}{2} \le x \le 16 \).
8. Также необходимо учесть, что аргумент логарифма должен быть положительным: \( x > 0 \).
9. Объединив условия \( \frac{1}{2} \le x \le 16 \) и \( x > 0 \), получаем окончательный ответ.

Ответ: \( \left[\frac{1}{2}; 16\right] \).