6. log^2_2 x = 5 - 4log_2 x 1. log_2(4x - 3) = log_2(3x - 15) 2. log_3(6 - 3x) = -4 3. log_{0.7} x = log_{0.7} 18 - 6log_{13} \(\sqrt[3]{3}\) 4. log_{0.6} (6x - 18) = 1 5. lg(x - 2) + lg x = lg 8

Решение:

1. log₂² x = 5 - 4log₂ x

Пусть \( y = \text{log}_{2} x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 = 5 - 4y \]

\[ y^2 + 4y - 5 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ (y+5)(y-1) = 0 \]

Отсюда \( y = -5 \) или \( y = 1 \).

Возвращаемся к замене:

Если \( \text{log}_{2} x = -5 \), то \( x = 2^{-5} = \frac{1}{32} \).

Если \( \text{log}_{2} x = 1 \), то \( x = 2^1 = 2 \).

Ответ: \( x = \frac{1}{32}, x = 2 \).

2. log₂(4x - 3) = log₂(3x - 15)

Из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

\[ 4x - 3 = 3x - 15 \]

\[ 4x - 3x = -15 + 3 \]

\[ x = -12 \]

Проверим область допустимых значений (ОДЗ):

\( 4x - 3 > 0 \rightarrow 4(-12) - 3 = -48 - 3 = -51 \ngtr 0 \)

\( 3x - 15 > 0 \rightarrow 3(-12) - 15 = -36 - 15 = -51 \ngtr 0 \)

Поскольку ОДЗ не выполняется, решений нет.

Ответ: нет решений.

3. log₃(6 - 3x) = -4

По определению логарифма:

\[ 6 - 3x = 3^{-4} \]

\[ 6 - 3x = \frac{1}{81} \]

\[ -3x = \frac{1}{81} - 6 \]

\[ -3x = \frac{1 - 6 \times 81}{81} = \frac{1 - 486}{81} = -\frac{485}{81} \]

\[ x = \frac{485}{3 \times 81} = \frac{485}{243} \]

Проверим ОДЗ:

\[ 6 - 3 \left( \frac{485}{243} \right) = 6 - \frac{485}{81} = \frac{6 \times 81 - 485}{81} = \frac{486 - 485}{81} = \frac{1}{81} > 0 \]

ОДЗ выполняется.

Ответ: \( x = \frac{485}{243} \).

4. log_0.7 x = log_0.7 18 - 6log₁₃ \(\sqrt[3]{3}\)

Данное уравнение содержит несовместимые основания логарифмов (0.7 и 13) и не является стандартной задачей для решения без дополнительных преобразований или уточнений. Предполагается, что это опечатка, и возможно, имелось в виду:

Вариант 1: log_0.7 x = log_0.7 18. Тогда \( x = 18 \).

Вариант 2: log_0.7 x = log_0.7 18 - log_0.7 y, где \( y = 13^k \) или похожее. Без уточнения основания второго логарифма решить невозможно.

Ответ: Задача не имеет однозначного решения из-за несовместимых оснований логарифмов.

5. log_0.6 (6x - 18) = 1

По определению логарифма:

\[ 6x - 18 = (0.6)^1 \]

\[ 6x - 18 = 0.6 \]

\[ 6x = 18 + 0.6 \]

\[ 6x = 18.6 \]

\[ x = \frac{18.6}{6} = 3.1 \]

Проверим ОДЗ:

\[ 6x - 18 = 6(3.1) - 18 = 18.6 - 18 = 0.6 > 0 \]

ОДЗ выполняется.

Ответ: \( x = 3.1 \).

6. lg(x - 2) + lg x = lg 8

Используем свойство логарифма суммы:

\[ \text{lg}((x-2) \times x) = \text{lg} 8 \]

\[ \text{lg}(x^2 - 2x) = \text{lg} 8 \]

Из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

\[ x^2 - 2x = 8 \]

\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ (x-4)(x+2) = 0 \]

Отсюда \( x = 4 \) или \( x = -2 \).

Проверим ОДЗ:

Для \( x = 4 \): \( x - 2 = 4 - 2 = 2 > 0 \) и \( x = 4 > 0 \). ОДЗ выполняется.

Для \( x = -2 \): \( x - 2 = -2 - 2 = -4 \ngtr 0 \). ОДЗ не выполняется.

Ответ: \( x = 4 \).