6. MABC — пирамида, MA ⟂ ABC, P₍ABC₎ = 90, AC = AB, CB = 40, MA = 8. Найдите S₍полн₎.

Основание \(ABC\) — равнобедренный треугольник: \(AB=AC\), \(BC=40\). Боковые рёбра пирамиды образуют треугольники \(MAB\), \(MAC\), \(MBC\).

Так как \(MA\perp ABC\), то \(MA\perp AB\) и \(MA\perp AC\). Поэтому

\[S_{MAB}=S_{MAC}=\frac12\cdot MA\cdot AB=4AB.\]

В основании периметр равен \(90\):

\[AB+AC+BC=90,\qquad 2AB+40=90,\qquad AB=AC=25.\]

Тогда

\[S_{MAB}=S_{MAC}=4\cdot25=100.\]

Высота основания, проведённая из \(A\) к \(BC\), равна

\[h_A=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15.\]

Площадь основания:

\[S_{ABC}=\frac12\cdot40\cdot15=300.\]

Поскольку \(MA\perp ABC\), расстояние от \(M\) до прямой \(BC\) равно

\[h_{MBC}=\sqrt{MA^2+h_A^2}=\sqrt{8^2+15^2}=17.\]

Следовательно,

\[S_{MBC}=\frac12\cdot BC\cdot h_{MBC}=\frac12\cdot40\cdot17=340.\]

Полная площадь поверхности:

\[S_{\text{полн}}=S_{ABC}+S_{MAB}+S_{MAC}+S_{MBC}=300+100+100+340=840.\]

Ответ: \(840\) кв. ед.