6. Моторная лодка прошла 56 километров по течению реки и, повернув обратно, прошла ещё 36 километров, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость лодки (в км/ч), если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Пусть x км/ч — собственная скорость лодки. Тогда скорость по течению равна x + 4 км/ч, а против течения — x − 4 км/ч.

Время в пути по течению: \(\frac{56}{x+4}\) ч. Время против течения: \(\frac{36}{x-4}\) ч. По условию их сумма равна 10 ч:

\[\frac{56}{x+4}+\frac{36}{x-4}=10,\qquad x>4.\]

Умножим уравнение на \((x+4)(x-4)\):

\[56(x-4)+36(x+4)=10(x^2-16).\]

Раскроем скобки и приведём подобные:

\[92x-80=10x^2-160,\]

\[10x^2-92x-80=0,\qquad 5x^2-46x-40=0.\]

Найдём корни:

\[x=\frac{46\pm\sqrt{46^2+4\cdot5\cdot40}}{10}=\frac{46\pm\sqrt{2916}}{10}=\frac{46\pm54}{10}.\]

Получаем \(x=10\) или \(x=-0.8\). Отрицательный корень не подходит, поскольку скорость лодки должна быть больше скорости течения.

Проверка: по течению лодка шла со скоростью 14 км/ч и затратила \(56:14=4\) ч; против течения — со скоростью 6 км/ч и затратила \(36:6=6\) ч. Всего 10 ч.

Ответ: 10 км/ч.