6. Можно ли отметить 13 точек, соединить их тринадцатью отрезками и провести прямую, которая пересечёт все эти отрезки и не пройдёт через отмеченные точки?

Да. Отметим 13 точек на одной прямой и соединим их отрезками попарно по кругу: получится замкнутая ломаная из 13 отрезков. Проведём другую прямую, параллельную прямой, на которой лежат точки. Она не проходит через отмеченные точки, но пересекает каждый отрезок, поскольку концы каждого отрезка лежат по разные стороны от неё.

Ответ: да, можно.