6^n \(\cdot\) 2^2 \(\cdot\) (3^{n+2})^3 / 27^n \(\cdot\) 3^{n+5} \(\cdot\) 2^{n-1}

Решение:

Упростим выражение, используя свойства степеней.

1. Представим основания степеней в виде простых множителей: \( 6 = 2 \cdot 3 \) и \( 27 = 3^3 \).
2. Подставим их в исходное выражение: \[ \frac{(2 \cdot 3)^n \cdot 2^2 \cdot (3^{n+2})^3}{(3^3)^n \cdot 3^{n+5} \cdot 2^{n-1}} \]
3. Применим свойство степени \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) и \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) в числителе и знаменателе: \[ \frac{2^n \cdot 3^n \cdot 2^2 \cdot 3^{(n+2) \cdot 3}}{3^{3n} \cdot 3^{n+5} \cdot 2^{n-1}} \]
4. Вычислим степень \( (n+2) \cdot 3 = 3n + 6 \): \[ \frac{2^n \cdot 3^n \cdot 2^2 \cdot 3^{3n+6}}{3^{3n} \cdot 3^{n+5} \cdot 2^{n-1}} \]
5. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе и знаменателе, используя свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \): \[ \frac{2^{n+2} \cdot 3^{n + 3n + 6}}{3^{3n + n + 5} \cdot 2^{n-1}} = \frac{2^{n+2} \cdot 3^{4n+6}}{3^{4n+5} \cdot 2^{n-1}} \]
6. Разделим степени с одинаковыми основаниями, используя свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \[ 2^{(n+2) - (n-1)} \cdot 3^{(4n+6) - (4n+5)} \]
7. Выполним вычитание в показателях степеней: \( (n+2) - (n-1) = n+2-n+1 = 3 \) и \( (4n+6) - (4n+5) = 4n+6-4n-5 = 1 \).
8. Получим: \[ 2^3 \cdot 3^1 \]
9. Вычислим окончательный результат: \( 8 \cdot 3 = 24 \).

Ответ: 24.