6. На рисунке 54 OA = OC и ∠AOD = ∠COD. Докажите, что ΔABD = ΔCBD. Даны треугольники DEF и D₁E₁F₁, точки M и M₁ лежат соответственно на сторонах DF и D₁F₁, причем DM = 3MF и D₁M₁ = 3M₁F₁, DE = D₁E₁, EM = E₁M₁ и ∠DEM = ∠D₁E₁M₁. Докажите, что EF = E₁F₁.

Первое доказательство.

1. В треугольниках AOD и COD: OA = OC, OD — общая сторона, ∠AOD = ∠COD. Поэтому ΔAOD ≅ ΔCOD по двум сторонам и углу между ними, откуда AD = DC.
2. По рисунку прямые AC и BO пересекаются в D. Поэтому ∠ADB и ∠CDB — вертикальные углы, значит, они равны. Кроме того, BD — общая сторона.
3. В треугольниках ABD и CBD равны AD = DC, BD = BD и углы между ними. Следовательно, ΔABD ≅ ΔCBD по двум сторонам и углу между ними.

Второе доказательство.

1. В треугольниках DEM и D₁E₁M₁ равны DE = D₁E₁, EM = E₁M₁ и углы между этими сторонами: ∠DEM = ∠D₁E₁M₁. Поэтому ΔDEM ≅ ΔD₁E₁M₁ по двум сторонам и углу между ними, откуда DM = D₁M₁ и ∠DME = ∠D₁M₁E₁.
2. Из DM = 3MF и D₁M₁ = 3M₁F₁ следует MF = DM/3 и M₁F₁ = D₁M₁/3. Значит, MF = M₁F₁.
3. Точки D, M, F лежат на одной прямой, причём M находится между D и F; аналогично расположены D₁, M₁, F₁. Поэтому углы ∠EMF и ∠DME, а также ∠E₁M₁F₁ и ∠D₁M₁E₁ — смежные. Из равенства ∠DME = ∠D₁M₁E₁ следует ∠EMF = ∠E₁M₁F₁.
4. В треугольниках EMF и E₁M₁F₁ равны EM = E₁M₁, MF = M₁F₁ и углы между этими сторонами. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому EF = E₁F₁.

Ответ: ΔABD ≅ ΔCBD; EF = E₁F₁.