6. На рисунке четырёхугольник FRMK: FR = MK, RM ∥ FK, FM ⟂ MK, ∠MFK = 35°. Найти углы R, M, F и K.

Так как RM ∥ FK, а FM — секущая, то накрест лежащие углы равны: ∠FMR = ∠MFK = 35°.

По рисунку ∠FMK = 90°. Поэтому внутренний угол при M равен ∠RMK = 35° + 90° = 125°.

Из FR = MK и параллельности оснований следует, что трапеция равнобедренная, поэтому углы при каждом основании равны: ∠R = ∠M, ∠F = ∠K. Соседние углы при боковой стороне дополняют друг друга до 180°.

Тогда ∠R = 180° − 125° = 55°, а ∠F = ∠K = (180° − 55°) = 125°? Проверка по углам трапеции показывает, что углы при нижнем основании равны и каждый дополняет верхний до 180°: ∠F = ∠K = 125°.

Ответ: ∠R = 125°, ∠M = 125°, ∠F = 55°, ∠K = 55°.