6. Найдите функцию, обратную к данной на заданном промежутке, и постройте на одном рисунке графики данной функции и функции, обратной к данной: 1) \(y=\frac14x^2\) при \(x>0\); 2) \(y=\frac14x^2\) при \(x<0\); 3) \(y=(x-2)^2\) при \(x>2\); 4) \(y=x^2-2\) при \(x<0\).

График обратной функции получают отражением исходного графика относительно прямой \(y=x\). Чтобы найти формулу, выражаем исходный аргумент через значение функции и меняем обозначения переменных.

1) При \(x>0\) имеем \(y=\frac14x^2\), поэтому \(x=2\sqrt{y}\) (берём положительный корень, поскольку исходно \(x>0\)). Область значений исходной функции — \(y>0\). Следовательно, обратная функция: \(y=2\sqrt{x}\), где \(x>0\).

2) При \(x<0\) из \(y=\frac14x^2\) получаем \(x=-2\sqrt{y}\), поскольку исходный аргумент отрицателен. Область значений исходной функции — \(y>0\). Значит, обратная функция: \(y=-2\sqrt{x}\), где \(x>0\).

3) Из \(y=(x-2)^2\) и условия \(x>2\) следует \(x=2+\sqrt{y}\). Область значений исходной функции — \(y>0\), поэтому обратная функция: \(y=2+\sqrt{x}\), где \(x>0\).

4) Из \(y=x^2-2\) получаем \(x^2=y+2\). Так как исходно \(x<0\), выбираем отрицательный корень: \(x=-\sqrt{y+2}\). Область значений исходной функции — \(y>-2\). Следовательно, обратная функция: \(y=-\sqrt{x+2}\), где \(x>-2\).