6. Найдите множество решений неравенства (x² - 16)(x - 5) < 0.

Решение:

Для решения неравенства \( (x^2 - 16)(x - 5) < 0 \) разложим множитель \( x^2 - 16 \) на множители как разность квадратов:

\[ (x - 4)(x + 4)(x - 5) < 0 \]

Найдем корни многочлена \( (x - 4)(x + 4)(x - 5) = 0 \). Корни:

• \( x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \)
• \( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \)
• \( x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \)

Отметим корни на числовой оси в порядке возрастания: \( -4, 4, 5 \).

Определим знаки многочлена в каждом интервале:

• При \( x > 5 \) (например, \( x=6 \)): \( (6-4)(6+4)(6-5) = 2 · 10 · 1 = 20 > 0 \)
• При \( 4 < x < 5 \) (например, \( x=4.5 \)): \( (4.5-4)(4.5+4)(4.5-5) = 0.5 · 8.5 · (-0.5) < 0 \)
• При \( -4 < x < 4 \) (например, \( x=0 \)): \( (0-4)(0+4)(0-5) = (-4) · 4 · (-5) = 80 > 0 \)
• При \( x < -4 \) (например, \( x=-5 \)): \( (-5-4)(-5+4)(-5-5) = (-9) · (-1) · (-10) = -90 < 0 \)

Нам нужно, где выражение меньше нуля. Это интервалы \( (-\infty; -4) \) и \( (4; 5) \).

Ответ: \( (-\infty; -4) \cup (4; 5) \)