6*. Найдите натуральные значения n, при которых выражение √(n²+29) является двузначным числом.

Пусть \(\sqrt{n^2+29}=m\), где \(m\) — двузначное натуральное число. Тогда

\(m^2-n^2=29\), то есть \((m-n)(m+n)=29\).

Число 29 простое, поэтому:

\(m-n=1\), \(m+n=29\).

Складываем равенства: \(2m=30\), откуда \(m=15\). Тогда \(n=14\).

Проверка: \(\sqrt{14^2+29}=\sqrt{196+29}=\sqrt{225}=15\), число 15 является двузначным.

Ответ: \(n=14\).