6*. Найдите натуральные значения n, при которых значение выражения √(n² + 29) является двузначным числом.

Пусть √(n² + 29) = k, где k — двузначное натуральное число. Тогда k² − n² = 29, то есть (k − n)(k + n) = 29.

Число 29 — простое, поэтому его единственное разложение на положительные множители — 1 · 29. Получаем систему k − n = 1 и k + n = 29. Складывая равенства, находим 2k = 30, значит k = 15; тогда n = 14.

Проверка: √(14² + 29) = √225 = 15, а 15 — двузначное число.

Ответ: n = 14.