6. Найдите область определения функции y = \(\sqrt{x(x-3)(x+4)}\).

Решение:

Для нахождения области определения функции \( y = \sqrt{x(x-3)(x+4)} \) необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

\[ x(x-3)(x+4) \geq 0 \]

Решим это неравенство методом интервалов. Корни выражения: \( x = 0 \), \( x = 3 \), \( x = -4 \).

Разобьем числовую ось на интервалы:

• \( (-\infty, -4] \): Возьмем \( x = -5 \). \( -5(-5-3)(-5+4) = -5(-8)(-1) = -40 < 0 \)
• \( [-4, 0] \): Возьмем \( x = -1 \). \( -1(-1-3)(-1+4) = -1(-4)(3) = 12 \geq 0 \)
• \( [0, 3] \): Возьмем \( x = 1 \). \( 1(1-3)(1+4) = 1(-2)(5) = -10 < 0 \)
• \( [3, \infty) \): Возьмем \( x = 4 \). \( 4(4-3)(4+4) = 4(1)(8) = 32 \geq 0 \)

Таким образом, неравенство \( x(x-3)(x+4) \geq 0 \) выполняется при \( x \in [-4, 0] \cup [3, \infty) \).

Ответ: \( [-4, 0] \cup [3, \infty) \).