6. Найдите площадь сечения единичного куба \(A\ldots D_1\) плоскостью, проходящей через вершину \(C\) и середины рёбер \(AD\), \(A_1D_1\).

Обозначим через \(M\) середину \(AD\), а через \(N\) середину \(A_1D_1\). Тогда \(M=(0,0.5,0)\), \(N=(0,0.5,1)\), \(C=(1,1,0)\).

1. Точки \(M\) и \(N\) лежат на одной вертикали, поэтому сечение содержит вертикальный отрезок \(MN\) длины 1.

2. Плоскость также пересекает верхнее ребро \(B_1C_1\) в его середине \(N'=(1,1,1)\). Сечение — прямоугольник \(M N N' C\): его горизонтальная сторона имеет длину \(\sqrt{1^2+0.5^2}=\frac{\sqrt5}{2}\), а вертикальная — 1.

3. Площадь равна произведению сторон: \(S=1\cdot\frac{\sqrt5}{2}=\frac{\sqrt5}{2}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt5}{2}\) кв. ед.