Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
6) Найдите производную неявной функции x²y⁴ + 10 = 3x⁴y³ + x⁵ - 5
Ответ:
Краткое пояснение:
Для нахождения производной неявной функции, мы будем дифференцировать обе части уравнения по x, помня, что y является функцией от x, и применяя правило цепочки.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Дифференцируем левую часть уравнения по x:
\( \frac{d}{dx}(x^2 y^4 + 10) = \frac{d}{dx}(x^2) y^4 + x^2 \frac{d}{dx}(y^4) + \frac{d}{dx}(10) \)
Применяя правило цепочки для \( \frac{d}{dx}(y^4) \), получаем: \( 4y^3 \frac{dy}{dx} \).
Таким образом, левая часть: \( 2xy^4 + x^2 (4y^3 \frac{dy}{dx}) + 0 = 2xy^4 + 4x^2y^3 \frac{dy}{dx} \). - Шаг 2: Дифференцируем правую часть уравнения по x:
\( \frac{d}{dx}(3x^4 y^3 + x^5 - 5) = \frac{d}{dx}(3x^4) y^3 + 3x^4 \frac{d}{dx}(y^3) + \frac{d}{dx}(x^5) - \frac{d}{dx}(5) \)
Применяя правило цепочки для \( \frac{d}{dx}(y^3) \), получаем: \( 3y^2 \frac{dy}{dx} \).
Таким образом, правая часть: \( 12x^3 y^3 + 3x^4 (3y^2 \frac{dy}{dx}) + 5x^4 - 0 = 12x^3y^3 + 9x^4y^2 \frac{dy}{dx} + 5x^4 \). - Шаг 3: Приравниваем производные обеих частей:
\( 2xy^4 + 4x^2y^3 \frac{dy}{dx} = 12x^3y^3 + 9x^4y^2 \frac{dy}{dx} + 5x^4 \) - Шаг 4: Группируем члены, содержащие \( \frac{dy}{dx} \) с одной стороны, и остальные члены с другой:
\( 4x^2y^3 \frac{dy}{dx} - 9x^4y^2 \frac{dy}{dx} = 12x^3y^3 + 5x^4 - 2xy^4 \) - Шаг 5: Выносим \( \frac{dy}{dx} \) за скобки:
\( \frac{dy}{dx} (4x^2y^3 - 9x^4y^2) = 12x^3y^3 + 5x^4 - 2xy^4 \) - Шаг 6: Выражаем \( \frac{dy}{dx} \):
\( \frac{dy}{dx} = \frac{12x^3y^3 + 5x^4 - 2xy^4}{4x^2y^3 - 9x^4y^2} \)
Ответ: \( \frac{dy}{dx} = \frac{12x^3y^3 + 5x^4 - 2xy^4}{4x^2y^3 - 9x^4y^2} \)
