6) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Решение:

1. Мы получили уравнение \( \sin x = C \), где \( C = \log_9 \left( 2 + \frac{\sqrt{33}}{3} \right) \). Мы установили, что \( 0 < C < 1 \).
2. Уравнение \( \sin x = C \) имеет два основных решения в интервале \( [0; 2\pi) \): \( x_1 = \arcsin(C) \) и \( x_2 = \pi - \arcsin(C) \).
3. Так как \( 0 < C < 1 \), то \( 0 < \arcsin(C) < \frac{\pi}{2} \).
4. Следовательно, \( \frac{\pi}{2} < \pi - \arcsin(C) < \pi \).
5. Общие решения уравнения \( \sin x = C \) имеют вид: \( x = \arcsin(C) + 2\pi k \) и \( x = \pi - \arcsin(C) + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
6. Рассмотрим первый тип решений: \( x = \arcsin(C) + 2\pi k \).
7. При \( k = 0 \): \( x = \arcsin(C) \). Это значение находится в \( (0; \frac{\pi}{2}) \), что не попадает в отрезок \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \).
8. При \( k = 1 \): \( x = \arcsin(C) + 2\pi \). Это значение находится в \( (2\pi; 2\pi + \frac{\pi}{2}) = (2\pi; \frac{5\pi}{2}) \), что не попадает в отрезок \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \).
9. При \( k = 2 \): \( x = \arcsin(C) + 4\pi \). Это значение больше \( 3\pi \).
10. Рассмотрим второй тип решений: \( x = \pi - \arcsin(C) + 2\pi k \).
11. При \( k = 0 \): \( x = \pi - \arcsin(C) \). Это значение находится в \( (\frac{\pi}{2}; \pi) \), что не попадает в отрезок \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \).
12. При \( k = 1 \): \( x = \pi - \arcsin(C) + 2\pi = 3\pi - \arcsin(C) \).
13. Так как \( 0 < \arcsin(C) < \frac{\pi}{2} \), то \( 3\pi - \frac{\pi}{2} < 3\pi - \arcsin(C) < 3\pi \), то есть \( \frac{5\pi}{2} < 3\pi - \arcsin(C) < 3\pi \).
14. Значение \( x = 3\pi - \arcsin(C) \) попадает в отрезок \( [\frac{3\pi}{2}; 3\pi] \).
15. При \( k = 2 \): \( x = \pi - \arcsin(C) + 4\pi = 5\pi - \arcsin(C) \). Это значение больше \( 3\pi \).

Ответ: \( 3\pi - \arcsin(\log_9 \left( 2 + \frac{\sqrt{33}}{3} \right)) \).