№ 6. Найдите все тройки действительных чисел $a,b,c$ такие, что $a+b+c=306$ и $a^2+b^2+c=b^2+c^2+a=c^2+a^2+b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: № 6. Найдите все тройки действительных чисел $a,b,c$ такие, что $a+b+c=306$ и $a^2+b^2+c=b^2+c^2+a=c^2+a^2+b$.$ Фото задания

№ 6. Найдите все тройки действительных чисел $a,b,c$ такие, что $a+b+c=306$ и $a^2+b^2+c=b^2+c^2+a=c^2+a^2+b$.

Accepted Answer

Из равенства первого и второго выражений получаем:

$a^2+b^2+c=b^2+c^2+a$, значит $(a-c)(a+c-1)=0$. Следовательно, $a=c$ или $a+c=1$.

Аналогично, сравнивая второе и третье, получаем $a=b$ или $a+b=1$. Так как все три выражения равны, для каждой пары переменных выполняется условие: они либо равны, либо в сумме дают 1.

Если все переменные равны, то из $a+b+c=306$ следует $a=b=c=102$.

Если переменные не все равны, две из них должны быть равны: обозначим их $x,x$, а третью — $y$. Для отличающейся пары имеем $x+y=1$. Вместе с условием суммы это даёт $2x+y=306$, откуда $x=305$, $y=-304$. Равные значения могут занимать любые два места.

Ответ: $(102,102,102)$, $(305,305,-304)$, $(305,-304,305)$, $(-304,305,305)$.

№ 6. Найдите все тройки действительных чисел \(a,b,c\) такие, что \(a+b+c=306\) и \(a^2+b^2+c=b^2+c^2+a=c^2+a^2+b\).

Ответ: