6. Найдите значение выражения \(\frac{24^4}{32^3 \cdot 8^3}\).

Решение:

Чтобы найти значение этого выражения, представим числа в основании степеней как произведения простых множителей:

1. Разложим 24 на множители: \( 24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 \)
2. Разложим 32 на множители: \( 32 = 2^5 \)
3. Разложим 8 на множители: \( 8 = 2^3 \)
4. Подставим эти разложения в исходное выражение:

\( \frac{(2^3 \cdot 3)^4}{(2^5)^3 \cdot (2^3)^3} \)

5. Используем свойство \( (a^m b^n)^p = a^{mp} b^{np} \) и \( (a^m)^n = a^{mn} \):

\( \frac{2^{3 \cdot 4} \cdot 3^4}{2^{5 \cdot 3} \cdot 2^{3 \cdot 3}} = \frac{2^{12} \cdot 3^4}{2^{15} \cdot 2^9} \)

6. Сложим степени с одинаковым основанием в знаменателе: \( 2^{15} \cdot 2^9 = 2^{15+9} = 2^{24} \).
7. Теперь выражение выглядит так:

\( \frac{2^{12} \cdot 3^4}{2^{24}} \)

8. Сократим степени с основанием 2, вычитая показатели: \( \frac{2^{12}}{2^{24}} = 2^{12-24} = 2^{-12} \).
9. Таким образом, получаем:

\( 3^4 \cdot 2^{-12} = \frac{3^4}{2^{12}} \)

10. Рассчитаем значения: \( 3^4 = 81 \) и \( 2^{12} = 4096 \).
11. Итоговое значение:

\( \frac{81}{4096} \)

Ответ: \(\frac{81}{4096}\)