6) Найдите значение выражения \(\frac{2n+3m}{6mn^2}\) - \(\frac{9m-2n}{9m^2n}\) при m = \(\frac{2}{3}\), n = 1.

Решение:

Для начала упростим выражение:

\(\frac{2n+3m}{6mn^2} - \frac{9m-2n}{9m^2n}\)

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель здесь будет \(18m^2n^2\). Для этого первую дробь умножим на \(3m\), а вторую — на \(2n\):

\(\frac{(2n+3m) \times 3m}{6mn^2 \times 3m} - \frac{(9m-2n) \times 2n}{9m^2n \times 2n}\)

\(\frac{6mn + 9m^2}{18m^2n^2} - \frac{18mn - 4n^2}{18m^2n^2}\)

Теперь вычтем числители:

\(\frac{6mn + 9m^2 - (18mn - 4n^2)}{18m^2n^2}\)

\(\frac{6mn + 9m^2 - 18mn + 4n^2}{18m^2n^2}\)

\(\frac{9m^2 - 12mn + 4n^2}{18m^2n^2}\)

Заметим, что числитель является полным квадратом разности \((3m - 2n)^2\).

\(\frac{(3m - 2n)^2}{18m^2n^2}\)

Теперь подставим значения \(m = \frac{2}{3}\) и \(n = 1\):

\(3m = 3 \times \frac{2}{3} = 2\)

\(2n = 2 \times 1 = 2\)

\(3m - 2n = 2 - 2 = 0\)

Значит, числитель равен \(0^2 = 0\).

Знаменатель будет \(18 \times (\frac{2}{3})^2 \times 1^2 = 18 \times \frac{4}{9} \times 1 = 8\).

Таким образом, значение выражения равно \(\frac{0}{8} = 0\).

Ответ: 0