6. Нурбек проектирует пруд в форме буквы L. Он должен убедиться, что общая длина a и b составляет 9 м и что a длиннее, чем b. На рисунке верхняя часть пруда имеет размеры 5 м × 5 м, а нижняя часть — высоту b и общую ширину 5 + a. а) Предположи, как длина a повлияет на общую площадь пруда. Как ты пришёл/пришла к своему предположению? б) Подкрепи своё предположение примерами и вычислениями. в) Если общая площадь пруда должна быть меньше 60 м², найди наибольшее возможное значение b, которое является целым числом. г) Останется ли твой ответ в пункте а) верным, если b может быть длиннее, чем a? Объясни, почему.

Площадь состоит из квадрата размером 5 м × 5 м и нижней прямоугольной части размером (5 + a) м × b м. Поэтому \(S=25+(5+a)b\). По условию \(a+b=9\), значит, \(b=9-a\), и

\(S=25+(5+a)(9-a)=70+4a-a^2\).

а) Поскольку \(a>b\) и \(a+b=9\), имеем \(a>4.5\). В этой области площадь уменьшается при увеличении \(a\): если \(a\) увеличивается, \(b=9-a\) уменьшается, а выражение \(S=25+(5+a)b\) показывает, что площадь уменьшается.

б) Примеры, удовлетворяющие условию \(a>b\):

• При \(a=5\) м и \(b=4\) м: \(S=25+(5+5)\cdot4=65\) м².
• При \(a=6\) м и \(b=3\) м: \(S=25+(5+6)\cdot3=58\) м².
• При \(a=7\) м и \(b=2\) м: \(S=25+(5+7)\cdot2=49\) м².

При увеличении \(a\) от 5 до 7 м площадь действительно уменьшается.

в) Подставим \(a=9-b\): \(S=25+(14-b)b\). Проверим целые значения \(b\), учитывая, что \(b<4.5\):

• При \(b=3\): \(S=25+(14-3)\cdot3=58\) м², что меньше 60 м².
• При \(b=4\): \(S=25+(14-4)\cdot4=65\) м², что больше 60 м².

г) Нет. Если разрешить \(b>a\), то при увеличении \(a\) площадь не всегда уменьшается. Например, при \(a=1, b=8\) площадь равна \(25+(5+1)\cdot8=73\) м², а при \(a=2, b=7\) — \(25+(5+2)\cdot7=74\) м²: площадь увеличилась.

Ответ: б) при условии \(a>b\) площадь уменьшается с ростом \(a\); в) наибольшее целое значение \(b\) — 3 м; г) если допускается \(b>a\), вывод из пункта а) не всегда верен.