6. Основание прямой призмы – равнобокая трапеция, одно из оснований которой в два раза больше другого. Непараллельные боковые грани призмы – квадраты. Высота призмы равна 6см. Площадь боковой поверхности призмы равна 144см². Вычислите объем призмы.

Дано:

• Призма прямая.
• Основание — равнобокая трапеция.
• Одно основание в 2 раза больше другого.
• Непараллельные боковые грани — квадраты.
• Высота призмы (h) = 6 см.
• Площадь боковой поверхности (S_бок) = 144 см².

Найти:

• Объем призмы (V).

Решение:

1. Площадь боковой поверхности призмы находится по формуле \( S_{бок} = P_{осн} \cdot h \), где \( P_{осн} \) — периметр основания, \( h \) — высота призмы.
2. Из условия \( S_{бок} = 144 \text{ см}² \) и \( h = 6 \text{ см} \), найдём периметр основания: \[ P_{осн} = \frac{S_{бок}}{h} = \frac{144 \text{ см}²}{6 \text{ см}} = 24 \text{ см} \]
3. Основанием призмы является равнобокая трапеция. Непараллельные боковые грани — квадраты, значит, высота трапеции равна боковой стороне трапеции (b).
4. Пусть меньшее основание трапеции равно \( a \), тогда большее основание равно \( 2a \).
5. Периметр равнобокой трапеции: \( P_{осн} = a + 2a + 2b = 3a + 2b \).
6. Мы знаем, что \( P_{осн} = 24 \text{ см} \).
7. Так как боковые грани — квадраты, то высота трапеции \( b \) равна высоте призмы, но это ошибка. Высота призмы — это длина бокового ребра. Длина бокового ребра равна стороне квадрата, из которого состоят боковые грани. Значит, боковая сторона трапеции \( b = 6 \text{ см} \).
8. Подставим \( b = 6 \text{ см} \) в формулу периметра: \( 3a + 2 \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см} \)
9. \( 3a + 12 \text{ см} = 24 \text{ см} \)
10. \( 3a = 12 \text{ см} \)
11. \( a = 4 \text{ см} \)
12. Тогда меньшее основание \( a = 4 \text{ см} \), большее основание \( 2a = 8 \text{ см} \), боковая сторона \( b = 6 \text{ см} \).
13. Теперь найдём высоту трапеции (H). Проведём высоту из концов меньшего основания на большее. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой \( b = 6 \text{ см} \) и катетом, равным \( \frac{2a - a}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2 \text{ см} \).
14. По теореме Пифагора найдём высоту трапеции: \( H² + 2² = 6² \)
15. \( H² + 4 = 36 \)
16. \( H² = 32 \)
17. \( H = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ см} \)
18. Площадь основания трапеции: \( S_{осн} = \frac{a + 2a}{2} \]⋅ H = \frac{4 \text{ см} + 8 \text{ см}}{2} \cdot 4\sqrt{2} \text{ см} = 6 \text{ см} \cdot 4\sqrt{2} \text{ см} = 24\sqrt{2} \text{ см}² \)
19. Объем призмы находится по формуле \( V = S_{осн} \cdot h \).
20. \( V = 24\sqrt{2} \text{ см}² \cdot 6 \text{ см} = 144\sqrt{2} \text{ см}³ \)

Ответ: V = 144√2 см³.