6. Отрезок CH — высота прямоугольного треугольника ABC, изображенного на рисунке, проведенная к его гипотенузе, CM — биссектриса этого треугольника. Какова градусная мера угла BAC?

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle ACB = 90^{\circ} \). Отрезок CH — высота, проведенная к гипотенузе. Отрезок CM — биссектриса.

По условию, \( \angle HCM = 20^{\circ} \).

Так как CM — биссектриса, то она делит угол \( \angle ACB \) пополам:

\[ \angle ACM = \angle BCM = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \]

Мы знаем, что \( \angle HCM = 20^{\circ} \) и \( \angle ACM = 45^{\circ} \).

Так как \( \angle ACM = \angle ACH + \angle HCM \), то:

\[ \angle ACH = \angle ACM - \angle HCM = 45^{\circ} - 20^{\circ} = 25^{\circ} \]

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Сумма острых углов в нем равна \( 90^{\circ} \).

\[ \angle HAC + \angle ACH = 90^{\circ} \]

Угол \( \angle HAC \) — это искомый угол \( \angle BAC \).

\[ \angle BAC = 90^{\circ} - \angle ACH \]

\[ \angle BAC = 90^{\circ} - 25^{\circ} \]

\[ \angle BAC = 65^{\circ} \]

Ответ: 65°