6) Перевести число 11011₂ в системы с основанием 8, 10, 16. 7) Перевести число 126₁₀ в системы с основанием 2, 8, 16. 8) Сложить двоичные числа 100011₂ + 11011₂. 9) Используя таблицы истинности, докажите или опровергните тождества. 1) A → B = B → A 2) A ↔ B = Ā ∙ B + A ∙ B 10) Постройте схему, соответствующую заданной логической функции, на логических элементах «И», «ИЛИ» и «НЕ». Предварительно преобразуйте выражение так, чтобы количество использованных логических элементов было минимальным. X = Ā ∙ B + C ∙ A

6. Перевод числа 11011₂ в другие системы счисления:

1. В десятичную систему (10):

   \( 11011_2 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27_{10} \)

2. В восьмеричную систему (8):

   Группируем по 3 цифры справа налево: \( 11 \, 011_2 \). Дополняем первую группу нулями: \( 011 \, 011_2 \). Каждая группа переводится в одну восьмеричную цифру: \( 011_2 = 3_8 \), \( 011_2 = 3_8 \). Итого: \( 33_8 \).

3. В шестнадцатеричную систему (16):

   Группируем по 4 цифры справа налево: \( 110 \, 11_2 \). Дополняем первую группу нулями: \( 0001 \, 1011_2 \). Каждая группа переводится в одну шестнадцатеричную цифру: \( 0001_2 = 1_{16} \), \( 1011_2 = B_{16} \). Итого: \( 1B_{16} \).

7. Перевод числа 126₁₀ в другие системы счисления:

1. В двоичную систему (2):

   Последовательно делим на 2:
   \( 126 :\u0000 2 = 63 \text{ ост. } 0 \)
   \( 63 :\u0000 2 = 31 \text{ ост. } 1 \)
   \( 31 :\u0000 2 = 15 \text{ ост. } 1 \)
   \( 15 :\u0000 2 = 7 \text{ ост. } 1 \)
   \( 7 :\u0000 2 = 3 \text{ ост. } 1 \)
   \( 3 :\u0000 2 = 1 \text{ ост. } 1 \)
   \( 1 :\u0000 2 = 0 \text{ ост. } 1 \)
   Снизу вверх: \( 1111110_2 \).

2. В восьмеричную систему (8):

   \( 126 :\u0000 8 = 15 \text{ ост. } 6 \)
   \( 15 :\u0000 8 = 1 \text{ ост. } 7 \)
   \( 1 :\u0000 8 = 0 \text{ ост. } 1 \)
   Снизу вверх: \( 176_8 \).

3. В шестнадцатеричную систему (16):

   \( 126 :\u0000 16 = 7 \text{ ост. } 14 \) (14 = E)
   \( 7 :\u0000 16 = 0 \text{ ост. } 7 \)
   Снизу вверх: \( 7E_{16} \).

8. Сложение двоичных чисел:

\( 100011_2 + 11011_2 \)

Результат: \( 1000110_2 \).

9. Доказательство тождеств с помощью таблиц истинности:

1. \( A \rightarrow B = B \rightarrow A \)

   Таблица истинности:

   A	B	\( A \rightarrow B \)	\( B \rightarrow A \)
   0	0	1	1
   0	1	1	0
   1	0	0	1
   1	1	1	1

   Столбцы \( A \rightarrow B \) и \( B \rightarrow A \) не совпадают. Следовательно, тождество неверно.

2. \( A \leftrightarrow B = \overline{A} \cdot B + A \cdot B \)

   Таблица истинности:

   A	B	\( \overline{A} \)	\( \overline{A} \cdot B \)	\( A \cdot B \)	\( \overline{A} \cdot B + A \cdot B \)	\( A \leftrightarrow B \)
   0	0	1	0	0	0	1
   0	1	1	1	0	1	0
   1	0	0	0	0	0	0
   1	1	0	0	1	1	1

   Столбцы \( \overline{A} \cdot B + A \cdot B \) и \( A \leftrightarrow B \) не совпадают. Следовательно, тождество неверно.

10. Построение схемы логической функции:

Заданная функция: \( X = \overline{A} \cdot B + A \cdot C \)

Преобразование выражения:
Выражение уже является минимальным, так как не содержит очевидных логических законов для упрощения (например, закон поглощения или вынесение общего множителя, где это применимо).

Схема:

Описание схемы:

1. Вход A проходит через логический элемент «НЕ» (инвертор), результат \( \overline{A} \) подается на первый вход элемента «И».
2. Вход B подается на второй вход первого элемента «И».
3. Вход C подается на первый вход второго элемента «И».
4. Вход A подается на второй вход второго элемента «И».
5. Выходы обоих элементов «И» подаются на входы элемента «ИЛИ», который формирует итоговый сигнал X.