6. Первую половину пути автобус шел со скоростью, в 8 раз большей, чем вторую. Средняя скорость автобуса на всем пути равна 16 км/ч. Определите скорость автобуса на второй половине пути.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость автобуса на первой половине пути, а \( v_2 \) — скорость на второй половине пути. Пусть \( S \) — расстояние, которое проехал автобус за первую половину пути, а \( T_1 \) и \( T_2 \) — время движения на первой и второй половинах пути соответственно.

1. По условию, \( v_1 = 8 v_2 \).
2. Время движения на первой половине пути: \( T_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{8v_2} \).
3. Время движения на второй половине пути: \( T_2 = \frac{S}{v_2} \).
4. Общее расстояние равно \( 2S \).
5. Общее время движения: \( T = T_1 + T_2 = \frac{S}{8v_2} + \frac{S}{v_2} = \frac{S + 8S}{8v_2} = \frac{9S}{8v_2} \).
6. Средняя скорость равна общему расстоянию, деленному на общее время: \( v_{ср} = \frac{2S}{T} \).
7. По условию, \( v_{ср} = 16 \) км/ч.
8. Подставим значения: \( 16 = \frac{2S}{\frac{9S}{8v_2}} = \frac{2S \cdot 8v_2}{9S} = \frac{16v_2}{9} \).
9. Решим уравнение относительно \( v_2 \): \( 16 = \frac{16v_2}{9} \).
10. \( v_2 = \frac{16 \cdot 9}{16} = 9 \) км/ч.
11. Скорость на первой половине пути: \( v_1 = 8 v_2 = 8 \cdot 9 = 72 \) км/ч.
12. Проверим среднюю скорость: \( v_{ср} = \frac{2 \cdot 72 \cdot 9}{72+9} = \frac{1296}{81} = 16 \) км/ч.

Ответ: Скорость автобуса на второй половине пути равна 9 км/ч.