6. Пользуясь свойствами степени с целым показателем, вычислите:

Решение:

1. a) 5^-4 · 5²
   Используем свойство степени: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
   \( 5^{-4} \cdot 5^2 = 5^{-4+2} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \)
2. б) 0,5^-7 · 0,5⁶
   \( 0,5^{-7} \cdot 0,5^6 = 0,5^{-7+6} = 0,5^{-1} = \frac{1}{0,5} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \)
3. в) (–3)^–5 · (–3)⁷
   \( (-3)^{-5} \cdot (-3)^7 = (-3)^{-5+7} = (-3)^2 = 9 \)
4. г) (1/2)^-2 · 2⁴
   \( \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \cdot 2^4 = \left(2^{-1}\right)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{(-1)\cdot(-2)} \cdot 2^4 = 2^2 \cdot 2^4 = 2^{2+4} = 2^6 = 64 \)
5. д) 2^-8 : 2^-6
   Используем свойство степени: \( a^m : a^n = a^{m-n} \).
   \( 2^{-8} : 2^{-6} = 2^{-8 - (-6)} = 2^{-8+6} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \)
6. е) (–0,4)^–9 : (–2/5)^–7
   Переведём десятичную дробь в обыкновенную: \( -0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5} \).
   \( \left(-\frac{2}{5}\right)^{-9} : \left(-\frac{2}{5}\right)^{-7} = \left(-\frac{2}{5}\right)^{-9 - (-7)} = \left(-\frac{2}{5}\right)^{-9+7} = \left(-\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{(-5)^2}{2^2} = \frac{25}{4} = 6,25 \)
7. ж) 3^-2 / 3^-2
   Используем свойство степени: \( a^m / a^n = a^{m-n} \).
   \( \frac{3^{-2}}{3^{-2}} = 3^{-2 - (-2)} = 3^{-2+2} = 3^0 = 1 \)
8. з) (1 1/3)^-6 : (1 1/3)^-5
   Переведём смешанное число в неправильную дробь: \( 1 \frac{1}{3} = \frac{3\cdot1+1}{3} = \frac{4}{3} \).
   \( \left(\frac{4}{3}\right)^{-6} : \left(\frac{4}{3}\right)^{-5} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-6 - (-5)} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-6+5} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{4} \)
9. и) (10^-8)^-1
   Используем свойство степени: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
   \( (10^{-8})^{-1} = 10^{(-8) \cdot (-1)} = 10^8 \)
10. к) (8^-5)⁰
    Любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1.
    \( (8^{-5})^0 = 1 \)
11. л) ((-2)^-3)^-1
    \( (-2)^{-3 \cdot (-1)} = (-2)^3 = -8 \)
12. м) ((-5)^-1)^-3
    \( (-5)^{-1 \cdot (-3)} = (-5)^3 = -125 \)

Ответ: а) 1/25; б) 2; в) 9; г) 64; д) 1/4; е) 6,25; ж) 1; з) 3/4; и) 10⁸; к) 1; л) -8; м) -125.