№ 6. Последовательность задана условиями \(a_1=3\), \(a_{n+1}=\frac{a_n-1}{a_n+1}\) при всех натуральных \(n\). Найдите \(a_{2020}\). Найдите сумму первых 2030 членов последовательности.

Вычислим первые члены по рекуррентной формуле:

\(a_1=3\), \(a_2=\frac{3-1}{3+1}=\frac12\), \(a_3=\frac{\frac12-1}{\frac12+1}=-\frac13\), \(a_4=\frac{-\frac13-1}{-\frac13+1}=-2\), \(a_5=\frac{-2-1}{-2+1}=3\).

Значения повторяются с периодом 4: \(3,\frac12,-\frac13,-2\). Так как \(2020\) делится на 4, \(a_{2020}=a_4=-2\).

Сумма каждого блока из четырёх членов равна \(3+\frac12-\frac13-2=\frac76\). Поскольку \(2030=4\cdot507+2\), сумма первых 2030 членов состоит из 507 таких блоков и ещё двух членов \(a_1+a_2=\frac72\):

\(S_{2030}=507\cdot\frac76+\frac72=\frac{3549}{6}+\frac{21}{6}=595\).

Ответ: \(a_{2020}=-2\); сумма первых 2030 членов равна 595.