Ответ:

  1. В нашей семье младшего называют словом «бирюк». Если слово приводится как название, его оставляют в начальной форме.
  2. Местные жители называют петуха кочетом. Глагол «называют» здесь требует творительного падежа.
  3. Бабушка рассказала о бирюке, который жил в лесу. После предлога «о» используется предложный падеж.
  4. Дедушка пошёл искать векшу в лесу. Глагол «искать» требует винительного падежа.
  5. В рассказе герой гутарил с путниками весь вечер. Ставим глагол в прошедшее время.