6. Построить график функции f(x) = x³ – 2x² + x + 3

Построение графика функции \( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 \)

Для построения графика функции найдём её производную, точки экстремума и точки перегиба.

1. Найдём первую производную:

\( f'(x) = (x^3 - 2x^2 + x + 3)' = 3x^2 - 4x + 1 \)

2. Найдём критические точки (приравняем производную к нулю):

\( 3x^2 - 4x + 1 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 \]
\[ x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
\[ x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]

3. Определим точки экстремума:

• При \( x = \frac{1}{3} \) функция имеет локальный максимум.


• При \( x = 1 \) функция имеет локальный минимум.

4. Найдём значения функции в точках экстремума:

\[ f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 2(\frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1 - 6 + 9 + 81}{27} = \frac{85}{27} \approx 3.15 \]
\[ f(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3 \]

5. Найдём вторую производную:

\( f''(x) = (3x^2 - 4x + 1)' = 6x - 4 \)

6. Найдём точки перегиба (приравняем вторую производную к нулю):

\( 6x - 4 = 0 \)
\[ x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

7. Найдём значение функции в точке перегиба:

\[ f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 2(\frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3} + 3 = \frac{8}{27} - \frac{8}{9} + \frac{2}{3} + 3 = \frac{8 - 24 + 18 + 81}{27} = \frac{83}{27} \approx 3.07 \]

8. Найдём точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью Y: \( f(0) = 3 \). Точка: (0, 3).


• Пересечение с осью X: \( x^3 - 2x^2 + x + 3 = 0 \). Это кубическое уравнение, его корни можно найти численно. Приближенно \( x \approx -0.88 \).

9. Построение графика:

Используя найденные точки и информацию о поведении функции, можно построить примерный график.

Ответ: График функции построен с учетом нахождения точек экстремума, перегиба и пересечений с осями.