6. Построить треугольник ABC с вершинами A(4; 0), B(0; −4), C(−4; 4). Найти координаты точек: 1) D — точки пересечения серединного перпендикуляра CB с осью Ox; 2) K — точки пересечения серединного перпендикуляра CA с осью Oy; 3) L — точки пересечения биссектрисы угла ACB со стороной AB.

1) Середина отрезка CB имеет координаты \((-2; 0)\). У CB угловой коэффициент \(-2\), поэтому у серединного перпендикуляра коэффициент \(\frac{1}{2}\). Его уравнение: \(y=\frac{x}{2}+1\). При пересечении с осью Ox имеем \(y=0\), откуда \(x=-2\). Следовательно, \(D(-2; 0)\).

2) Середина отрезка CA — точка \((0; 2)\). У CA угловой коэффициент \(-\frac{1}{2}\), значит, у серединного перпендикуляра коэффициент \(2\). Его уравнение: \(y=2x+2\). На оси Oy \(x=0\), поэтому \(K(0; 2)\).

3) Направляющие векторы сторон угла при C: \(\overrightarrow{CB}=(4; -8)\) и \(\overrightarrow{CA}=(8; -4)\). Их единичные векторы пропорциональны \((1; -2)\) и \((2; -1)\), поэтому направление внутренней биссектрисы пропорционально их сумме \((3; -3)\). Биссектриса проходит через C и имеет уравнение \(y=-x\). Прямая AB имеет уравнение \(y=x-4\). Решая систему \(y=-x\), \(y=x-4\), получаем \(x=2\), \(y=-2\). Следовательно, \(L(2; -2)\).

Ответ: D(−2; 0), K(0; 2), L(2; −2).