№6. Постройте график функции и запишите свойства функции \(y=x^2+10x+21\).

Преобразуем выражение, выделив полный квадрат: \(y=x^2+10x+21=(x+5)^2-4\). Значит, график — парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке \((-5,-4)\), а ось симметрии — прямая \(x=-5\).

Нули функции найдём разложением на множители: \(x^2+10x+21=(x+3)(x+7)\), поэтому \(x=-7\) и \(x=-3\). Для построения также можно отметить точку пересечения с осью \(Oy\): при \(x=0\) получаем \(y=21\).

График функции:

Свойства функции:

• Область определения: все действительные числа.
• Область значений: \([-4; +\infty)\).
• Наименьшее значение равно \(-4\) при \(x=-5\); наибольшего значения нет.
• Убывает на \((-;-5]\), возрастает на \([-5;+)\).
• Нули: \(-7\) и \(-3\).
• Функция положительна при \(x\in(-;-7)\cup(-3;+)\) и отрицательна при \(x\in(-7;-3)\).
• Ось симметрии графика: \(x=-5\).