6. Постройте график функции $$y = -4 - \frac{x^4-x^3}{x^2-x}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

Сначала упростим выражение для функции:

\[ y = -4 - \frac{x^3(x-1)}{x(x-1)} \]

При \( x \neq 0 \) и \( x \neq 1 \), мы можем сократить \( x-1 \) и \( x \):

\[ y = -4 - x^2 \]

График функции \( y = -4 - x^2 \) — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке \( (0, -4) \). Однако, у исходной функции есть ограничения: \( x \neq 0 \) и \( x \neq 1 \).

При \( x = 0 \), функция не определена. В точке \( x = 0 \) график \( y = -4 - x^2 \) имеет значение \( y = -4 \). Значит, на графике исходной функции будет выколотая точка \( (0, -4) \).

При \( x = 1 \), функция также не определена. Значение \( y = -4 - 1^2 = -5 \). Значит, на графике исходной функции будет выколотая точка \( (1, -5) \).

Таким образом, график исходной функции — это парабола \( y = -4 - x^2 \) с двумя выколотыми точками: \( (0, -4) \) и \( (1, -5) \).

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y=m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

• Прямая \( y = m \) горизонтальна.
• Если \( m > -4 \), прямая пересекает параболу в двух точках.
• Если \( m = -4 \), прямая проходит через вершину параболы, но эта точка выколота. Поэтому прямая \( y = -4 \) не имеет общих точек с графиком.
• Если \( m < -4 \) и \( m \neq -5 \), прямая пересекает параболу в двух точках.
• Если \( m = -5 \), прямая проходит через выколотую точку \( (1, -5) \) и пересекает параболу еще в одной точке \( (-1, -5) \). Таким образом, при \( m = -5 \) прямая имеет ровно две общие точки.

Проанализируем еще раз. График — это парабола \( y = -4 - x^2 \), но с выколотыми точками \( (0, -4) \) и \( (1, -5) \).

Прямая \( y=m \) имеет ровно одну общую точку с графиком, когда:

• Прямая проходит через вершину параболы, и эта вершина не выколота, но в данном случае вершина \( (0, -4) \) выколота.
• Прямая проходит через одну из выколотых точек, и при этом пересекает график ровно в одной точке.

Рассмотрим значения \( m \):

• Если \( m = -4 \), прямая \( y = -4 \) проходит через выколотую точку \( (0, -4) \). На графике есть еще точка \( (0, -4) \) и другая точка \( (0, -4) \). Нет, это не так. Парабола \( y = -4-x^2 \) симметрична относительно оси Y. При \( y=-4 \), \( x=0 \). Так как \( x=0 \) — выколотая точка, то прямая \( y=-4 \) не имеет общих точек с графиком.
• Если \( m = -5 \), прямая \( y = -5 \) проходит через выколотую точку \( (1, -5) \). Также, \( -5 = -4 - x^2 \implies x^2 = -4 + 5 = 1 \implies x = \pm 1 \). Значит, прямая \( y = -5 \) проходит через \( (1, -5) \) (выколотая) и \( (-1, -5) \) (не выколотая). Таким образом, при \( m = -5 \) есть ровно одна общая точка \( (-1, -5) \).

Ответ: $$m = -5$$