6. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+7x+12)(x^2-x-2)}{x^2+5x+4}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+7x+12)(x^2-x-2)}{x^2+5x+4}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая…$ Фото задания

6. Постройте график функции $y=\dfrac{(x^2+7x+12)(x^2-x-2)}{x^2+5x+4}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Accepted Answer

Разложим многочлены на множители:

$y=\dfrac{(x+3)(x+4)(x-2)(x+1)}{(x+1)(x+4)}$.

Область определения исходной функции: $x\ne-1$, $x\ne-4$. Поэтому график — парабола $y=x^2+x-6$ с выколотыми точками $(-1;-6)$ и $(-4;6)$.

Вершина параболы имеет абсциссу $x=-\frac12$, а ординату $y=-\frac{25}{4}$. Горизонтальная прямая ниже вершины не пересекает график, на уровне вершины имеет с ним одну общую точку, а выше обычно пересекает его в двух точках.

При $m=-6$ один из двух корней уравнения $x^2+x-6=m$ равен $-1$ и не входит в область определения; остаётся одна общая точка. При $m=6$ один корень равен $-4$ и также исключён; остаётся одна общая точка.

Ответ: $m=-\frac{25}{4},\ -6,\ 6$.

6. Постройте график функции \(y=\dfrac{(x^2+7x+12)(x^2-x-2)}{x^2+5x+4}\) и определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: